نکات مهم استاتیک، مقاومت مصالح و تحلیل سازه
نکات مهم استاتیک، مقاومت مصالح و تحلیل سازه
در مهندسی عمران، استاتیک، مقاومت مصالح، و تحلیل سازه از مبانی کلیدی برای طراحی و ارزیابی رفتار سازهها هستند. این مفاهیم در کنار هم استفاده میشوند تا اطمینان حاصل شود که سازهها ایمن، اقتصادی و پایدار هستند. در ادامه، مروری بر این سه موضوع ارائه میشود:
۱. استاتیک (Statics)
استاتیک شاخهای از مکانیک است که به بررسی تعادل نیروها در سیستمهای ایستا میپردازد.
مفاهیم کلیدی:
-
تعادل نیروها:
- ΣFx=0\Sigma F_x = 0, ΣFy=0\Sigma F_y = 0, ΣMz=0\Sigma M_z = 0
- مجموع نیروها و گشتاورها باید صفر باشد تا سیستم در تعادل باقی بماند.
-
انواع نیروها:
- نیروهای متمرکز (Point Loads)
- نیروهای گسترده (Distributed Loads)
- گشتاورها
-
تکیهگاهها و عکسالعملها:
- انواع تکیهگاه: مفصلی، غلتکی، گیردار
- محاسبه عکسالعملها در سازهها.
-
تعادل در سازهها:
- تحلیل تیرها، قابها، خرپاها و سایر اعضا.
ابزارها:
- رسم دیاگرام برش و خمش برای تیرها.
- تحلیل خرپاها با روشهای مفصلها و مقاطع.
۲. مقاومت مصالح (Strength of Materials)
مقاومت مصالح به بررسی رفتار مواد در برابر نیروها و تغییر شکل آنها میپردازد.
مفاهیم کلیدی:
-
تنش (σ\sigma):
- رابطه: σ=FA\sigma = \frac{F}{A}
- واحد: پاسکال (Pa) یا مگاپاسکال (MPa)
-
کرنش (ε\varepsilon):
- رابطه: ε=ΔLL0\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}
-
مدول الاستیسیته (EE):
- رابطه: σ=E⋅ε\sigma = E \cdot \varepsilon
- نشاندهنده سختی ماده.
-
انواع تنشها:
- کششی و فشاری: نیروی عمودی بر سطح مقطع.
- برشی (τ\tau): نیروی موازی بر سطح.
- خمشی: ناشی از لنگر خمشی.
- پیچشی: ناشی از لنگر پیچشی.
-
روابط خمش:
- معادله خمشی: M=σ⋅IyM = \sigma \cdot \frac{I}{y}
- رابطه تغییر شکل تیرها: EId2vdx2=M(x)EI \frac{d^2v}{dx^2} = M(x)
-
فشار و تنش در سیلندرها:
- تحلیل تنشها در جداره سیلندرها و لولهها.
ابزارها:
- تحلیل شکست مواد با استفاده از تئوریهای شکست (مانند موهر، فون میزس).
- محاسبه تغییر شکل تیرها و ستونها.
۳. تحلیل سازه (Structural Analysis)
تحلیل سازه فرآیندی است برای تعیین نیروها، تغییر شکلها، و پایداری اعضای سازه.
انواع تحلیل:
-
تحلیل استاتیکی خطی:
- فرض میشود تغییر شکلها کوچک است و مواد خطی رفتار میکنند.
- مناسب برای اکثر سازههای ساده.
-
تحلیل غیرخطی:
- برای سازههایی که تغییر شکلهای بزرگ یا رفتار غیرخطی دارند.
- شامل رفتار پلاستیک و پدیدههایی مانند کمانش.
-
تحلیل دینامیکی:
- شامل اثر نیروهای متغیر با زمان، مانند زلزله یا باد.
مراحل تحلیل:
-
مدلسازی سازه:
- تعریف اعضا، اتصالات و تکیهگاهها.
-
محاسبه نیروهای داخلی:
- نیروهای برشی، لنگر خمشی، و نیروی محوری.
-
کنترل پایداری:
- بررسی پایداری جانبی سازه.
-
کنترل تغییر شکلها:
- محدودیت تغییر مکانهای مجاز طبق آییننامهها.
روشهای تحلیل:
-
روش کلاسیک:
- مثل روش مقاطع، روش شیب-افت، و تیر مزدوج.
-
روش ماتریسی:
- استفاده از نرمافزارها مانند SAP2000 و ETABS.
-
تحلیل تقریبی:
- برای سازههای ساده یا پیشبینیهای اولیه.
۴. ارتباط این مباحث در طراحی
-
استاتیک:
- نیروها و عکسالعملها را تعیین میکند.
-
مقاومت مصالح:
- رفتار ماده و مقاومت آن در برابر تنشها بررسی میشود.
-
تحلیل سازه:
- نیروهای داخلی و تغییر شکلهای سازه مشخص میشود تا طراحی انجام گیرد.
نرمافزارهای پرکاربرد
-
SAP2000:
- تحلیل و طراحی انواع سازهها.
-
ETABS:
- تخصصی برای سازههای ساختمانی.
-
ABAQUS/ANSYS:
- تحلیل پیشرفته و غیرخطی.
-
SAFE:
- طراحی دال و فونداسیون.
در ادامه توضیحات استاتیک، مقاومت مصالح و تحلیل سازهها را با جزئیات بیشتری گسترش میدهم تا تمامی جنبهها و ارتباطات این سه موضوع پوشش داده شود.
۱. استاتیک (Statics)
الف) تعادل نیروها در سازهها
- اصل تعادل:
- سازه باید در تعادل باشد، یعنی مجموع نیروها و گشتاورهای وارد بر آن صفر باشند.
- معادلات تعادل:
- ΣFx=0\Sigma F_x = 0 (تعادل افقی)
- ΣFy=0\Sigma F_y = 0 (تعادل عمودی)
- ΣMz=0\Sigma M_z = 0 (تعادل گشتاور)
ب) نیروهای خارجی و داخلی
- نیروهای خارجی:
- بارهای متمرکز: به یک نقطه از سازه وارد میشوند.
- بارهای گسترده: در طول یک عضو سازه پخش میشوند (مانند وزن دیوار).
- گشتاورها: نیروی دورانی که باعث چرخش سازه میشوند.
- نیروهای داخلی:
- شامل نیروهای برشی (VV)، لنگر خمشی (MM) و نیروی محوری (NN).
- تحلیل این نیروها در اعضای مختلف سازه انجام میشود.
ج) تحلیل خرپاها
- خرپاها از اعضای مستقیم متصل به یکدیگر در مفاصل تشکیل شدهاند.
- روشهای تحلیل:
- روش مفصلها (Joint Method): حل نیروها در هر مفصل با استفاده از تعادل.
- روش مقاطع (Section Method): برش سازه و تحلیل تعادل در بخش بریدهشده.
د) دیاگرامهای برش و لنگر
- دیاگرام برش: توزیع نیروی برشی در طول تیر.
- دیاگرام لنگر خمشی: توزیع لنگر خمشی در طول تیر.
- روش ترسیم دیاگرامها:
- محاسبه واکنشهای تکیهگاهی.
- تحلیل مقاطع در طول تیر.
- رسم دیاگرام بر اساس روابط ریاضی.
۲. مقاومت مصالح (Strength of Materials)
الف) تنش و کرنش
- تنش (σ\sigma):
- نیروی داخلی وارد بر واحد سطح.
- فرمول: σ=FA\sigma = \frac{F}{A}
- FF: نیرو
- AA: سطح مقطع
- کرنش (ε\varepsilon):
- تغییر طول نسبی در ماده.
- فرمول: ε=ΔLL0\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}
- ΔL\Delta L: تغییر طول
- L0L_0: طول اولیه
- مدول الاستیسیته (EE):
- رابطه خطی بین تنش و کرنش در ناحیه الاستیک:
- σ=E⋅ε\sigma = E \cdot \varepsilon
- رابطه خطی بین تنش و کرنش در ناحیه الاستیک:
ب) انواع بارگذاری
- کشش و فشار:
- رفتار ماده تحت نیروی محوری.
- تنشها و تغییر شکلها خطی محاسبه میشوند.
- برش (τ\tau):
- نیروی موازی به سطح مقطع.
- فرمول: τ=VA\tau = \frac{V}{A}
- خمش:
- ناشی از لنگر خمشی.
- معادله خمش: σ=M⋅yI\sigma = \frac{M \cdot y}{I}
- MM: لنگر
- yy: فاصله از مرکز سطح مقطع
- II: ممان اینرسی سطح مقطع
- پیچش:
- ناشی از گشتاور پیچشی.
- فرمول: τ=T⋅rJ\tau = \frac{T \cdot r}{J}
- TT: گشتاور پیچشی
- rr: فاصله از مرکز
- JJ: قطب اینرسی.
ج) تحلیل تیرها و ستونها
- تیرها:
- اعضایی که عمدتاً در برابر خمش طراحی میشوند.
- دیاگرامهای برش و لنگر برای تحلیل توزیع نیرو.
- ستونها:
- اعضایی که در برابر فشار محوری طراحی میشوند.
- پدیده کمانش: ناپایداری جانبی در اثر فشار زیاد.
۳. تحلیل سازهها (Structural Analysis)
الف) مفاهیم پایه در تحلیل سازهها
- نیروهای داخلی:
- تعیین نیروی محوری، برشی و لنگر در اعضای سازه.
- تغییر شکلها:
- محاسبه جابجاییها و تغییر شکل سازه تحت بارگذاری.
- نامعینی سازهها:
- سازه معین: تعداد معادلات تعادل کافی است.
- سازه نامعین: نیاز به روشهای اضافی مانند سازگاری تغییر شکلها.
ب) روشهای تحلیل
- تحلیل دستی:
- مناسب برای سازههای ساده.
- روشهایی مثل روش تیر مزدوج یا شیب-افت.
- روشهای ماتریسی:
- استفاده از ماتریس سختی و جابجایی.
- تحلیل پیشرفتهتر و سریعتر.
- تحلیل عددی با نرمافزار:
- SAP2000، ETABS و ABAQUS برای تحلیلهای پیچیده.
ج) پایداری سازهها
- بررسی توانایی سازه برای مقاومت در برابر نیروهای جانبی (باد، زلزله).
- استفاده از سیستمهای مقاوم جانبی مانند:
- قابهای خمشی
- دیوارهای برشی
- مهاربندها
ارتباط این سه مبحث در طراحی واقعی
- استاتیک:
- محاسبه نیروها و عکسالعملها.
- مقاومت مصالح:
- بررسی مقاومت مواد در برابر نیروهای داخلی محاسبهشده.
- تحلیل سازهها:
- تعیین رفتار کل سیستم و بررسی پایداری و تغییر شکلها.
کمانش ستونها، طراحی تیرهای خمشی یا مسائل دینامیکی
۱. کمانش ستونها (Buckling of Columns)
الف) تعریف کمانش
کمانش، ناپایداری جانبی یک ستون است که در اثر بار محوری فشاری به وجود میآید. وقتی بار از یک حد بحرانی بیشتر شود، ستون تغییر شکل جانبی میدهد و ممکن است دچار شکست شود.
ب) بار بحرانی کمانش (Euler’s Critical Load)
فرمول اصلی برای محاسبه بار بحرانی کمانش به روش اویلر:
Pcr=π2EI(KL)2P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}
- PcrP_{cr}: بار بحرانی (نیوتن)
- EE: مدول الاستیسیته (پاسکال)
- II: ممان اینرسی سطح مقطع ستون
- LL: طول مؤثر ستون (متر)
- KK: ضریب طول مؤثر (وابسته به شرایط تکیهگاهها)
ج) ضریب طول مؤثر (KK)
بسته به نوع تکیهگاهها:
- دو سر مفصل: K=1K = 1
- یک سر گیردار، یک سر آزاد: K=2K = 2
- دو سر گیردار: K=0.5K = 0.5
- یک سر گیردار، یک سر مفصل: K=0.7K = 0.7
د) حالتهای کمانش
- کمانش الاستیک (Elastic Buckling):
- در ناحیه الاستیک ماده رخ میدهد.
- کمانش پلاستیک (Plastic Buckling):
- زمانی که تنشها به ناحیه تسلیم برسند.
ه) کنترل کمانش در طراحی
- استفاده از ستونهایی با ممان اینرسی بالا (مقاطع H یا لولهای).
- کاهش طول مؤثر با اضافه کردن بستها.
- استفاده از مواد با مدول الاستیسیته بالا.
۲. طراحی تیرهای خمشی (Design of Beams under Bending)
الف) تنش خمشی در تیرها
تنش خمشی بهصورت زیر محاسبه میشود:
σ=M⋅yI\sigma = \frac{M \cdot y}{I}
- σ\sigma: تنش خمشی (پاسکال)
- MM: لنگر خمشی (نیوتنمتر)
- yy: فاصله از مرکز سطح مقطع (متر)
- II: ممان اینرسی سطح مقطع
ب) طراحی بر اساس مقاومت خمشی
- تنش مجاز (σallow\sigma_{allow}):
- تنش ایجادشده نباید از تنش مجاز ماده تجاوز کند:
σ≤σallow\sigma \leq \sigma_{allow}
- کنترل خیز تیر (Deflection):
- خیز تیر باید کمتر از حد مجاز آییننامهای باشد.
δmax≤δallow\delta_{max} \leq \delta_{allow}
- کنترل برش در تیر:
- نیروی برشی باید کمتر از مقاومت برشی باشد.
τ=VAs≤τallow\tau = \frac{V}{A_s} \leq \tau_{allow}
ج) انتخاب مقطع مناسب
- مقاطع I و H: مناسب برای تیرهای بلند.
- مقاطع جعبهای: مناسب برای مقاومت در برابر پیچش.
- مقاطع مستطیلی یا دایرهای: مناسب برای تیرهای کوتاه.
د) توزیع بارها در تیر
- بارهای متمرکز، گسترده یکنواخت، یا گسترده متغیر.
- دیاگرامهای برش و لنگر برای شناسایی نقاط بحرانی.
۳. مسائل دینامیکی در سازهها
الف) زلزله و تحلیل دینامیکی
- تحلیل دینامیکی خطی:
- فرض رفتار خطی ماده.
- تحلیل طیفی: بر اساس شتاب طیفی طراحی.
۲ – تحلیل دینامیکی غیرخطی:
- رفتار غیرخطی سازه و مواد.
- تحلیل تاریخچه زمانی: بررسی پاسخ سازه به رکورد زلزله.
ب) معادله حرکت دینامیکی سازه
برای یک سیستم یکدرجه آزادی:
mx¨+cx˙+kx=F(t)m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = F(t)
- mm: جرم سازه
- cc: میرایی
- kk: سختی
- F(t)F(t): نیروی متغیر با زمان
- xx: جابجایی
ج) رفتار دینامیکی سازهها
- فرکانس طبیعی سازه:
- فرمول: ωn=km\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}
- پریود طبیعی: Tn=2πωnT_n = \frac{2 \pi}{\omega_n}
- اثر میرایی:
- میرایی بحرانی: ζ=c2mk\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{m k}}
- پاسخ سازه به زلزله بستگی به میزان میرایی دارد.
د) ابزارهای کنترل دینامیک
- میرایی سازهای: افزودن دمپرها.
- جداسازی لرزهای: استفاده از جداگرهای پایه.
- تقویت پایداری دینامیکی: بهبود سختی و شکلپذیری.
مثال عملی: طراحی یک ستون تحت بار محوری
فرض کنید یک ستون فولادی با مشخصات زیر دارید:
- طول ستون: L=3L = 3 متر
- مقطع: IPE240 (I=8.64×۱۰۶ mm4I = 8.64 \times 10^6 \, \text{mm}^4)
- مدول الاستیسیته: E=210 GPaE = 210 \, \text{GPa}
- شرایط تکیهگاهی: دو سر گیردار (K=0.5K = 0.5)
محاسبه بار بحرانی:
Pcr=π۲⋅E⋅I(KL)2P_{cr} = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I}{(K L)^2}
-
تبدیل واحدها:
- E=210×۱۰۹ PaE = 210 \times 10^9 \, \text{Pa}
- I=8.64×۱۰−۶ m4I = 8.64 \times 10^{-6} \, \text{m}^4
- L=3 mL = 3 \, \text{m}
- K=0.5K = 0.5
بار بحرانی:
Pcr=π۲⋅(۲۱۰×۱۰۹)⋅(۸.۶۴×۱۰−۶)(۰.۵⋅۳)2P_{cr} = \frac{\pi^2 \cdot (210 \times 10^9) \cdot (8.64 \times 10^{-6})}{(0.5 \cdot 3)^2}
سوالات رایج در استاتیک، مقاومت مصالح و تحلیل سازه
در اینجا سوالات پرتکرار دانشجویان و مهندسان در این سه مبحث، همراه با توضیحات کوتاه ارائه شده است:
سوالات رایج در استاتیک
-
چگونه میتوان واکنشهای تکیهگاهی را محاسبه کرد؟
- از معادلات تعادل استفاده کنید: ΣFx=0, ΣFy=0, ΣM=0\Sigma F_x = 0, \; \Sigma F_y = 0, \; \Sigma M = 0
ابتدا یک جسم آزاد رسم کرده و سپس نیروها و گشتاورها را تحلیل کنید.
۱-فرق بین سیستم معین و نامعین چیست؟
-
-
سیستم معین:
- تعداد معادلات تعادل برای حل کافی است.
-
سیستم نامعین:
- نیاز به روابط اضافی (مانند سازگاری تغییر شکلها) برای تحلیل دارد.
-
۲- چگونه دیاگرام برش و لنگر خمشی را رسم کنیم؟
-
- ابتدا واکنشهای تکیهگاهی را پیدا کنید.
- در طول تیر، نیروها و لنگرها را تحلیل کرده و نقاط بحرانی را مشخص کنید.
- دیاگرام برش و سپس لنگر را رسم کنید.
۳- چرا در خرپاها از روش مفصلها یا مقاطع استفاده میشود؟
-
- برای تحلیل ساده و سریع نیروهای داخلی در اعضای خرپا.
-
روش مفصلها:
- نیروها در هر گره تحلیل میشوند.
-
روش مقاطع:
- خرپا در نقاط دلخواه برش داده میشود.
سوالات رایج در مقاومت مصالح
۱- تفاوت بین تنش و کرنش چیست؟
-
-
تنش (σ\sigma):
-
نیروی داخلی تقسیم بر سطح مقطع (F/AF/A).
-
-
کرنش (ε\varepsilon):
-
تغییر طول نسبی (ΔL/L0\Delta L / L_0).
۲- چگونه مقاومت خمشی یک تیر را محاسبه کنیم؟
-
-
تنش خمشی:
-
σ=M⋅yI\sigma = \frac{M \cdot y}{I}
MM: لنگر خمشی
yy: فاصله از مرکز سطح مقطع
II: ممان اینرسی
حداکثر تنش خمشی نباید از تنش مجاز ماده تجاوز کند.
۳- تفاوت بین خمش و پیچش چیست؟
-
- خمش: ناشی از لنگر خمشی است که باعث تغییر شکل در صفحه طولی تیر میشود.
-
- پیچش: ناشی از گشتاور پیچشی است که باعث دوران حول محور طولی تیر میشود.
۴- کمانش چیست و چگونه کنترل میشود؟
کمانش: ناپایداری جانبی ستون تحت بار فشاری.
کنترل.
کاهش طول مؤثر ستون.
افزایش ممان اینرسی مقطع.
استفاده از مواد با مدول الاستیسیته بالا.
۵- چگونه خیز مجاز یک تیر را محاسبه کنیم؟
-
- خیز تیر باید بر اساس آییننامه کنترل شود: δmax≤δallow\delta_{max} \leq \delta_{allow}
- خیز تیر به کمک روابط خمشی و شرایط تکیهگاهی محاسبه میشود.
سوالات رایج در تحلیل سازهها
۱- چگونه سازههای معین و نامعین را تشخیص دهیم؟
-
- معین: تعداد مجهولات برابر معادلات تعادل است.
- نامعین: تعداد مجهولات بیشتر است و نیاز به روابط تغییر شکل دارد.
۲- تحلیل ماتریسی سازهها چگونه انجام میشود؟
-
- ماتریس سختی (KK) برای تعیین جابجاییها و نیروها استفاده میشود: [K]{d}={F}[K] \{d\} = \{F\}
- [K][K]: ماتریس سختی.
- {d}\{d\}: بردار جابجایی.
- {F}\{F\}: بردار نیروها.
- ماتریس سختی (KK) برای تعیین جابجاییها و نیروها استفاده میشود: [K]{d}={F}[K] \{d\} = \{F\}
۳- تفاوت تحلیل استاتیکی و دینامیکی چیست؟
-
- استاتیکی: بارها ثابت هستند و تغییر با زمان ندارند.
- دینامیکی: بارها با زمان تغییر میکنند و اثر اینرسی و میرایی در نظر گرفته میشود.
۴- چگونه فرکانس طبیعی یک سازه را محاسبه کنیم؟
-
- برای سیستم یکدرجه آزادی: ωn=km\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}
- kk: سختی
- mm: جرم
- برای سیستم یکدرجه آزادی: ωn=km\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}
۵- چرا پایداری در تحلیل سازهها مهم است؟
-
- پایداری تضمین میکند که سازه تحت بارهای جانبی (مانند زلزله و باد) دچار تغییر شکل ناپایدار نشود.
- پایداری از طریق سیستمهای مقاوم جانبی (مهاربند، دیوار برشی) تأمین میشود.
مثالهایی برای تمرین
استاتیک:
- یک تیر ساده با طول ۶ متر تحت بار متمرکز ۱۰ کیلو نیوتن در وسط. واکنشهای تکیهگاهی و دیاگرامهای برش و لنگر را رسم کنید.
مقاومت مصالح:
- یک ستون فولادی با طول ۳ متر و مقطع IPE200 تحت بار محوری ۱۰۰ کیلو نیوتن. آیا کمانش رخ میدهد؟
تحلیل سازهها:
- یک قاب دوطبقه با سه دهانه. واکنشها، لنگرها، و جابجایی طبقه بالا را محاسبه کنید.
یک مثال عملی در استاتیک ارائه میکنم.
مثال: تحلیل تیر ساده با بار متمرکز
صورت مسئله:
یک تیر افقی با شرایط زیر داریم:
- طول تیر: L=6 mL = 6 \, \text{m}
- تکیهگاهها:
- تکیهگاه مفصلی در نقطه AA.
- تکیهگاه غلتکی در نقطه BB.
- یک بار متمرکز P=10 kNP = 10 \, \text{kN} در وسط تیر، یعنی در فاصله ۳ m3 \, \text{m} از هر تکیهگاه وارد میشود.
خواستهها:
- واکنشهای تکیهگاهی (RA,RBR_A, R_B) را پیدا کنید.
- دیاگرام برش (VV) و لنگر خمشی (MM) را رسم کنید.
حل مسئله:
۱. محاسبه واکنشهای تکیهگاهی
از معادلات تعادل استفاده میکنیم:
ΣFy=0:RA+RB−P=0⇒RA+RB=10 kN\Sigma F_y = 0: \quad R_A + R_B – P = 0 \quad \Rightarrow \quad R_A + R_B = 10 \, \text{kN} ΣMA=0:RB⋅۶−P⋅۳=۰⇒RB=10⋅۳۶=۵ kN\Sigma M_A = 0: \quad R_B \cdot 6 – P \cdot 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad R_B = \frac{10 \cdot 3}{6} = 5 \, \text{kN} RA=10−RB=10−۵=۵ kNR_A = 10 – R_B = 10 – 5 = 5 \, \text{kN}
نتیجه:
- واکنش در AA: RA=5 kNR_A = 5 \, \text{kN}
- واکنش در BB: RB=5 kNR_B = 5 \, \text{kN}
۲. دیاگرام برش (VV)
برش در هر قسمت تیر را محاسبه میکنیم:
- برای ۰≤x<3 m0 \leq x < 3 \, \text{m}:
نیروی برشی برابر با واکنش RAR_A است:V=RA=5 kNV = R_A = 5 \, \text{kN}
- برای x=3 mx = 3 \, \text{m}:
بار متمرکز PP تأثیر میگذارد:V=5−۱۰=−۵ kNV = 5 – 10 = -5 \, \text{kN}
- برای ۳<x≤۶ m3 < x \leq 6 \, \text{m}:
نیروی برشی ثابت باقی میماند:V=−۵ kNV = -5 \, \text{kN}
۳. دیاگرام لنگر خمشی (MM)
لنگر در هر نقطه تیر را با استفاده از انتگرال نیروی برشی یا از شرایط تعادل محاسبه میکنیم:
- برای ۰≤x<3 m0 \leq x < 3 \, \text{m}:
لنگر از واکنش RAR_A تولید میشود:
M=RA⋅x=5⋅x(0≤x<3)M = R_A \cdot x = 5 \cdot x \quad (0 \leq x < 3)
- برای ۳≤x≤۶ m3 \leq x \leq 6 \, \text{m}:
لنگر در اثر واکنش RAR_A و بار PP:
M=RA⋅x−P⋅(x−۳)=۵⋅x−۱۰⋅(x−۳)M = R_A \cdot x – P \cdot (x – 3) = 5 \cdot x – 10 \cdot (x – 3)
سادهسازی:
M=5x−10x+30=−5x+30(3≤x≤۶)M = 5x – 10x + 30 = -5x + 30 \quad (3 \leq x \leq 6)
۴. مقادیر کلیدی:
- لنگر ماکزیمم:
در وسط تیر (زیر بار متمرکز): Mmax=5⋅۳=۱۵ kN.mM_{max} = 5 \cdot 3 = 15 \, \text{kN.m}
رسم دیاگرامها:
دیاگرام برش (VV):
- از ۰ تا ۳ متر: +۵ kN+5 \, \text{kN}
- از ۳ تا ۶ متر: −۵ kN-5 \, \text{kN}
دیاگرام لنگر خمشی (MM):
- از ۰ تا ۳ متر: خط مستقیم صعودی (M=5xM = 5x)
- از ۳ تا ۶ متر: خط مستقیم نزولی (M=−5x+30M = -5x + 30)
- لنگر در نقاط:
- x=0x = 0: M=0M = 0
- x=3x = 3: M=15 kN.mM = 15 \, \text{kN.m}
- x=6x = 6: M=0M = 0
چند مثال عددی از مقاومت مصالح همراه با حل کامل آورده شده است. موضوعات متنوعی مانند تنش خمشی، پیچش، و کمانش در نظر گرفته شدهاند.
مثال ۱: محاسبه تنش خمشی در یک تیر ساده
صورت مسئله:
یک تیر با طول L=4 mL = 4 \, \text{m} تحت یک بار متمرکز P=20 kNP = 20 \, \text{kN} در وسط قرار دارد. مقطع تیر یک مستطیل با عرض b=150 mmb = 150 \, \text{mm} و ارتفاع h=300 mmh = 300 \, \text{mm} است.
خواستهها:
- حداکثر تنش خمشی را محاسبه کنید.
- آیا تیر ایمن است اگر تنش مجاز ماده σallow=10 MPa\sigma_{allow} = 10 \, \text{MPa} باشد؟
حل:
-
لنگر خمشی ماکزیمم:
لنگر در مرکز تیر بیشینه است و برابر است با:
Mmax=P⋅L4=20⋅۴۴=۲۰ kN.mM_{max} = \frac{P \cdot L}{4} = \frac{20 \cdot 4}{4} = 20 \, \text{kN.m}
۲ – ممان اینرسی مقطع:
مقطع تیر مستطیلی است، بنابراین ممان اینرسی حول محور خنثی (II) عبارت است از:
I=b⋅h312=150⋅۳۰۰۳۱۲=۳۳۷.۵×۱۰۶ mm4I = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{150 \cdot 300^3}{12} = 337.5 \times 10^6 \, \text{mm}^4
۳ – فاصله از مرکز سطح مقطع (yy):
y=h2=3002=150 mmy = \frac{h}{2} = \frac{300}{2} = 150 \, \text{mm}
-
تنش خمشی ماکزیمم (σmax\sigma_{max}):
تنش خمشی از رابطه زیر به دست میآید:σ=M⋅yI\sigma = \frac{M \cdot y}{I}با جایگذاری مقادیر:
σ=۲۰×۱۰۶⋅۱۵۰۳۳۷.۵×۱۰۶=۸.۸۹ MPa\sigma = \frac{20 \times 10^6 \cdot 150}{337.5 \times 10^6} = 8.89 \, \text{MPa}
۲ – بررسی ایمنی:
تنش ماکزیمم σmax=8.89 MPa\sigma_{max} = 8.89 \, \text{MPa} کمتر از σallow=10 MPa\sigma_{allow} = 10 \, \text{MPa} است.
نتیجه: تیر ایمن است.
مثال ۲: محاسبه زاویه پیچش در یک شافت استوانهای
صورت مسئله:
یک شافت استوانهای با قطر d=50 mmd = 50 \, \text{mm} و طول L=1.5 mL = 1.5 \, \text{m}، تحت گشتاور T=500 N.mT = 500 \, \text{N.m} قرار دارد. مدول برشی ماده G=80 GPaG = 80 \, \text{GPa} است.
خواسته:
زاویه پیچش (θ\theta) را محاسبه کنید.
حل:
-
ممان قطبی مقطع (JJ):
برای مقطع دایرهای:
J=π⋅d432=π⋅۵۰۴۳۲=۳۰.۶۸×۱۰۶ mm4J = \frac{\pi \cdot d^4}{32} = \frac{\pi \cdot 50^4}{32} = 30.68 \times 10^6 \, \text{mm}^4
-
زاویه پیچش (θ\theta):
رابطه زاویه پیچش:
θ=T⋅LJ⋅G\theta = \frac{T \cdot L}{J \cdot G}
ابتدا مقادیر را به واحدهای سازگار تبدیل میکنیم:
- T=500 N.m=500×۱۰۳ N.mmT = 500 \, \text{N.m} = 500 \times 10^3 \, \text{N.mm}
- L=1.5 m=1500 mmL = 1.5 \, \text{m} = 1500 \, \text{mm}
- G=80 GPa=80×۱۰۳ N/mm2G = 80 \, \text{GPa} = 80 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2
جایگذاری در رابطه:
θ=۵۰۰×۱۰۳⋅۱۵۰۰۳۰.۶۸×۱۰۶⋅۸۰×۱۰۳\theta = \frac{500 \times 10^3 \cdot 1500}{30.68 \times 10^6 \cdot 80 \times 10^3} θ=۰.۰۳۲۵ rad\theta = 0.0325 \, \text{rad}
-
تبدیل به درجه
θ=۰.۰۳۲۵⋅۱۸۰π=۱.۸۶∘\theta = 0.0325 \cdot \frac{180}{\pi} = 1.86^\circ
نتیجه: زاویه پیچش شافت θ=۱.۸۶∘\theta = 1.86^\circ.
مثال ۳: بررسی کمانش ستون
صورت مسئله:
یک ستون فولادی با مشخصات زیر داریم:
- طول آزاد L=3 mL = 3 \, \text{m}
- مقطع دایرهای با قطر d=100 mmd = 100 \, \text{mm}
- هر دو انتها مفصل است.
- مدول الاستیسیته E=200 GPaE = 200 \, \text{GPa}
خواسته:
بار بحرانی کمانش را محاسبه کنید.
حل:
-
طول مؤثر ستون (LeL_e):
برای ستون با دو انتها مفصل:
Le=L=3 mL_e = L = 3 \, \text{m}
-
ممان اینرسی قطبی مقطع (II):
برای مقطع دایرهای:
I=π⋅d464=π⋅۱۰۰۴۶۴=۴۹۰.۸۷×۱۰۶ mm4I = \frac{\pi \cdot d^4}{64} = \frac{\pi \cdot 100^4}{64} = 490.87 \times 10^6 \, \text{mm}^4
-
بار بحرانی کمانش (PcrP_{cr}):
فرمول بار بحرانی:
Pcr=π۲⋅E⋅ILe2P_{cr} = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I}{L_e^2}
تبدیل واحدها:
- E=200×۱۰۳ N/mm2E = 200 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2
- Le=3 m=3000 mmL_e = 3 \, \text{m} = 3000 \, \text{mm}
جایگذاری در رابطه:
Pcr=π۲⋅۲۰۰×۱۰۳⋅۴۹۰.۸۷×10630002P_{cr} = \frac{\pi^2 \cdot 200 \times 10^3 \cdot 490.87 \times 10^6}{3000^2} Pcr=34.5×۱۰۳ kNP_{cr} = 34.5 \times 10^3 \, \text{kN}
نتیجه: بار بحرانی کمانش ستون Pcr=34.5 MNP_{cr} = 34.5 \, \text{MN}.
چند مثال عددی از تحلیل سازهها با جزئیات حل آورده شده است. مباحثی مانند روشهای تحلیل تیرها، قابها، و خرپاها پوشش داده میشوند.
مثال ۱: تحلیل یک تیر ایزواستاتیک
صورت مسئله:
یک تیر ساده با طول L=8 mL = 8 \, \text{m} دارای بار گسترده w=2 kN/mw = 2 \, \text{kN/m} در طول کل خود است.
- تکیهگاه AA: مفصلی
- تکیهگاه BB: غلتکی
خواستهها:
- واکنشهای تکیهگاهی را محاسبه کنید.
- دیاگرام نیروی برشی (VV) و لنگر خمشی (MM) را رسم کنید.
حل:
۱. محاسبه واکنشهای تکیهگاهی
-
نیروی کل بار گسترده:
W=w⋅L=2⋅۸=۱۶ kNW = w \cdot L = 2 \cdot 8 = 16 \, \text{kN}
-
مکان اثر بار گسترده:
مرکز هندسی بار گسترده در وسط تیر، یعنی در فاصله ۴ m4 \, \text{m} از AA.
-
معادلات تعادل:
ΣFy=0:RA+RB=16\Sigma F_y = 0: \quad R_A + R_B = 16 ΣMA=0:RB⋅۸−۱۶⋅۴=۰⇒RB=8 kN\Sigma M_A = 0: \quad R_B \cdot 8 – 16 \cdot 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad R_B = 8 \, \text{kN} RA=16−RB=16−۸=۸ kNR_A = 16 – R_B = 16 – 8 = 8 \, \text{kN}
نتیجه:
- RA=8 kNR_A = 8 \, \text{kN}
- RB=8 kNR_B = 8 \, \text{kN}
۲. دیاگرام نیروی برشی (VV)
- برای ۰≤x<40 \leq x < 4:
V(x)=RA−w⋅x=8−2xV(x) = R_A – w \cdot x = 8 – 2x
- برای ۴≤x≤۸۴ \leq x \leq 8:
V(x)=RA−w⋅x=8−2xV(x) = R_A – w \cdot x = 8 – 2x(در نقطه x=4x = 4، V(4)=0V(4) = 0, و پس از آن VV منفی میشود.)
۳. دیاگرام لنگر خمشی (MM)
- برای ۰≤x<40 \leq x < 4:
M(x)=RA⋅x−w⋅x22=8x−۲×۲۲=8x−x2M(x) = R_A \cdot x – \frac{w \cdot x^2}{2} = 8x – \frac{2x^2}{2} = 8x – x^2
- برای ۴≤x≤۸۴ \leq x \leq 8:
M(x)=RA⋅x−w⋅x22=8x−x2M(x) = R_A \cdot x – \frac{w \cdot x^2}{2} = 8x – x^2
لنگر ماکزیمم:
در وسط تیر، در x=4x = 4:
Mmax=8⋅۴−۴۲=۱۶ kN.mM_{max} = 8 \cdot 4 – 4^2 = 16 \, \text{kN.m}
مثال ۲: تحلیل یک خرپای ساده
صورت مسئله:
یک خرپای ساده متشکل از ۳ عضو مثلثی داریم:
- نقاط A,B,CA, B, C به ترتیب در موقعیتهای (۰,۰)(۰, ۰), (۴,۰)(۴, ۰), و (۴,۳)(۴, ۳).
- نیروی خارجی P=10 kNP = 10 \, \text{kN} به صورت عمودی به نقطه CC وارد میشود.
- تکیهگاه AA: مفصلی
- تکیهگاه BB: غلتکی افقی.
خواسته:
نیروهای اعضای خرپا را با استفاده از روش مفصلها تعیین کنید.
حل:
۱. واکنشهای تکیهگاهی
- معادلات تعادل: ΣFy=0:RAy−۱۰=۰⇒RAy=10 kN\Sigma F_y = 0: \quad R_{Ay} – 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad R_{Ay} = 10 \, \text{kN} ΣFx=0:RAx+RB=0⇒RAx=0\Sigma F_x = 0: \quad R_{Ax} + R_B = 0 \quad \Rightarrow \quad R_{Ax} = 0 ΣMA=0:RB⋅۴−۱۰⋅۴=۰⇒RB=10 kN\Sigma M_A = 0: \quad R_B \cdot 4 – 10 \cdot 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad R_B = 10 \, \text{kN}
نتیجه:
- RAy=10 kNR_{Ay} = 10 \, \text{kN}
- RAx=0R_{Ax} = 0
- RB=10 kNR_B = 10 \, \text{kN}
۲. روش مفصلها
- در مفصل CC: نیروهای عضو ACAC و BCBC را تحلیل میکنیم:
ΣFx=0:TAC⋅۴۵=TBC⋅۳۵⇒TAC=34TBC\Sigma F_x = 0: \quad T_{AC} \cdot \frac{4}{5} = T_{BC} \cdot \frac{3}{5} \quad \Rightarrow \quad T_{AC} = \frac{3}{4} T_{BC} ΣFy=0:TAC⋅۳۵+TBC⋅۴۵=۱۰\Sigma F_y = 0: \quad T_{AC} \cdot \frac{3}{5} + T_{BC} \cdot \frac{4}{5} = 10جایگذاری:
۳۵⋅34TBC+45TBC=10\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} T_{BC} + \frac{4}{5} T_{BC} = 10 TBC=8 kN⇒TAC=6 kNT_{BC} = 8 \, \text{kN} \quad \Rightarrow \quad T_{AC} = 6 \, \text{kN}
- در مفصل AA:
ΣFy=0:TAB=10 kN\Sigma F_y = 0: \quad T_{AB} = 10 \, \text{kN}
نتیجه نهایی:
- TAC=6 kNT_{AC} = 6 \, \text{kN} (فشاری)
- TBC=8 kNT_{BC} = 8 \, \text{kN} (کششی)
- TAB=10 kNT_{AB} = 10 \, \text{kN} (کششی)
مثال ۳: تحلیل قاب ساده
صورت مسئله:
یک قاب مستطیلی با ارتفاع h=6 mh = 6 \, \text{m} و عرض b=4 mb = 4 \, \text{m} تحت بار متمرکز P=20 kNP = 20 \, \text{kN} در مرکز تیر افقی قرار دارد. تکیهگاهها:
- AA: مفصلی
- BB: غلتکی.
خواسته:
نیروهای محوری، برشی و خمشی اعضای قاب را تعیین کنید.